Yakuniy yutuq

A va B tizimlari

So'nggi asrlarda Bobil astronomiyasi misli ko'rilmagan ish qildi: u kelajakni hisoblab chiqdi. Biri qadamlar, ikkinchisi zigzaglar shaklida ishlaydigan ikkita raqobatchi arifmetik nazariya hech qanday geometriya, kosmos yoki modellarsiz, oy uzunligini yarim soniyadan kamroq xatolik bilan yillar oldin oy va sayyoralar joylashuvi jadvallarini tuzib chiqdi. Yunon astronomiyasi jimgina ushbu natijalarga asoslandi va o'shandan beri hamma shunday qilmoqda.

2
raqobatchi tizimlar
450
taxtachalar va parchalar
0.4 s
oy uzunligidagi xatolik

Tizimlar ichida

Matematik astronomiya qismlardan iborat mexanizmdir: ikkita funktsiya turi, ikkita matn janri, oy nazariyasi, sayyoralar davrlari va bularning barchasini boshqaradigan ustaxonalar. Kartalar mexanizmni qismlarga ajratadi.

🧮

Rasmlarsiz nazariya

yondashuv geometriya emas, arifmetika

Bobil nazariy astronomiyasida sferalar, doiralar va kosmos yo'q, u sof arifmetikadan iborat. Hodisaning sanalari va joylashuvi sonli qoidalar orqali yuzaga keladi va jadvallarga yoziladi. Maqsad osmonni tasvirlash emas, balki uni bashorat qilish edi va arifmetika aynan shuni amalga oshirdi.

▦

A tizimi: qadam funktsiyasi

birinchi yo'l zonalar va sakrashlar

A tizimi zodiakni zonalarga bo'ladi va har birida quyosh yoki sayyoraga doimiy tezlik berib, chegaralarda sakrashlarni amalga oshiradi. Tashqi ko'rinishdan sodda bo'lsa-da, amalda juda kuchli: qadamlar harakatning doira bo'ylab qanday o'zgarishini kodlaydi va tizim hodisalarni hayratlanarli aniqlik bilan kuzatib boradi.

📈

B tizimi: zigzag

ikkinchi yo'l qoida bo'yicha ko'tarilish va tushish

B tizimi miqdorning o'zini chiziqli ravishda o'zgarishiga imkon beradi, u doimiy farq bilan maksimumga ko'tariladi, qaytadi va minimumga tushadi: bu zigzag funktsiyasidir. Chizilganda u sinus egriligini eslatuvchi uchburchak to'lqinga aylanadi, to'liq qo'shish va ayirish orqali tasvirlangan uzluksiz o'zgarish.

📊

Efemeridalar

mahsulot ustunlardagi kelajak

Tizimlarning natijasi efemerida hisoblanadi: bu oyma-oy hisoblangan miqdorlar, joylashuvlar, tezliklar, vaqtlar, tutilish ehtimollari jadvali bo'lib, har bir ustun keyingisini ta'minlaydi. Bobil va Urukdan yuzlab shunday jadvallar saqlanib qolgan bo'lib, ularning ba'zilari o'z davridan yillar oldinga o'tib ketgan, ya'ni jadvalga solingan kelajakdir.

📜

Protsedura matnlari

dastlabki kod loydagi algoritmlar

Jadvallar yonida ko'rsatmalar matnlari turadi: siz bunga ko'paytirasiz, buni qo'shasiz, agar natija falonchadan oshsa, ayirasiz. Ular ikkinchi shaxsda retsept kabi yozilgan algoritmlardir va ular tizimlarning haqiqiy matematikasini, eng qadimgi bashorat qiluvchi fanning dastlabki kodini saqlaydi.

🌙

Oy nazariyasi

shoh asar eng qiyin muammo hal qilindi

Oy o'zining bir-biriga bog'liq anomaliyalari bilan qadimgi davrning eng qiyin hisoblash muammosi bo'lgan. Oy efemeridalari esa ushbu tizimlarning shoh asaridir: ular oy va quyoshning o'zgaruvchan tezligi, tugun hamda ufqni hisobga olib, sizigiyalar, tutilish ehtimollari va yangi oy ko'rinishini bashorat qiladigan ko'p ustunli jadvallardir.

⏱️

Yarim soniyagacha aniq oy

mashhur raqam 29;31,50,08,20 kun

B tizimining o'rtacha sinodik oyi, 60 lik sanoq tizimida 29;31,50,08,20 kun sifatida yoziladi va zamonaviy qiymatdan yarim soniyadan ham kam farq qiladi. Kundaliklardagi tutilish vaqtlaridan olingan bu parametr Gipparx tomonidan o'zlashtirilgan, Ptolomeyga meros bo'lib o'tgan va shu tariqa hali ham amalda bo'lgan taqvimlarning asosini tashkil etadi.

🪐

Sayyoralar davrlari

bo'ysundirilgan sayyoralar davriy munosabatlar

Sayyoralar nazariyasi yozuvlardan olingan davriy munosabatlarga asoslanadi: Venera o'z hodisalarini 8 yilda 5 marta, Saturn 59 yilda 57 marta, Yupiter esa 427 yilda 391 marta takrorlaydi. Bu orqali tizimlar har bir sayyoraning to'xtashlari, ko'rinishi va yo'qolishini, ya'ni kundaliklar asrlar davomida qayd etgan hodisalarni hisoblab chiqqan.

📐

Yupiter va trapetsiya

kutilmagan yangilik proto-kalkulyus

2016-yilda shifri ochilgan protsedura matnlari Yupiter harakatini tezlik-vaqt egriligi ostidagi trapetsiya maydoni sifatida hisoblaydi va hatto bu maydonni yarmiga bo'luvchi vaqtni ham topadi. Bu asrlar o'tib o'rta asr Oksford olimlari chizgan shakldan 14 asr oldin loyga yozilgan integralning konseptual asosidir.

🏠

So'nggi mirzolar

Bobil va Uruk Milodiy 75-yilgacha

Tizimlar ikkita ma'bad ustaxonasida ishlagan: Bobildagi Esagila to'garagi va Urukning olim oilalari. Ular jadvallarni imzolab, sana qo'yganlar. 'Enuma Anu Enlil mirzolari' maosh evaziga efemeridalarni hisoblab chiqishgan va mixxat yo'q bo'lib ketgunga qadar bu ularning unvoni bo'lib qolgan.

🏛️

Naburianos va Kidenas

obro'-e'tibor yunonlar orasidagi shuhrat

Yunon yozuvchilari Xaldey ustalarini ismlari bilan eslashgan: Naburianos va Kidenas (bizning Nabu-rimannu va Kidinnu), keyinchalik ular A va B tizimlari bilan bog'langan, shuningdek podshohlar maslahatlashadigan Sudines. Bobil fanida birinchi marta anonim an'ana mashhur mualliflarga ega bo'ldi.

🌍

Yunon va hind astronomiyasiga

uzatish chegarasiz parametrlar

Gipparx tutilish davrlari va oy uzunligini o'zlashtirdi; Rim Misridagi yunon papiruslari asrlar o'tib sayyoralarni Bobil arifmetikasi bo'yicha hisoblagan; Hind astronomiyasi esa davriy munosabatlarni qabul qilgan. Tizimlarning raqamlari o'z yozuvi, tili va sivilizatsiyasidan uzoqroq yashadi va bu haqiqiy natija ta'rifidir.

Ismli va ismsizlar

Hatto yunonlar ham ismlarini eslab qolgan Xaldey astronomlari, imzolangan jadvallari saqlanib qolgan mirzo va taxtachalardan matematikani qayta tiklagan zamonaviy olimlar.

Nabu-rimannu

taxminan miloddan avvalgi 5-asr Bobil

Yunon manbalarida Naburianos deb atalgan va keyingi an'analar tomonidan qadam funktsiyasi nazariyasi bo'lmish A tizimining muallifi sifatida ko'rilgan astronom. Ushbu e'tirof ortida kundaliklarda to'plangan ma'lumotlarni birinchi bo'lib hisoblash tizimiga aylantirgan avlod turadi.

Kidinnu

taxminan miloddan avvalgi 4-asr Bobil

Yunonlarga Kidenas nomi bilan ma'lum bo'lib, an'anaga ko'ra B tizimi va uning mashhur oy uzunligi bilan bog'lanadi. Uning aniq roli qanday bo'lishidan qat'i nazar, bu ism Xaldey astronomiyasining aniqligi timsoliga aylandi va uning olami yo'q bo'lib ketgandan keyin ham asrlar davomida tilga olindi.

Sudines

miloddan avvalgi 3-asr Bobil va Pergamon

Pergamon podshohi Attal I saroyida xizmat qilgani bilan yodda qolgan xaldeylik astronom va folbin. Antik mualliflar uni Naburianos va Kidenas bilan bir qatorda tilga olishadi. U xalqaro miqyosda talabgir bo'lgan bobilik mutaxassis edi.

Anu-aba-uter

miloddan avvalgi 2-asr boshi Uruk

Sin-leqi-unninni oilasidan bo'lgan mirzo, munajjimlar bashorati sahifasidagi Anu-belshununing o'g'li. Uning imzosi va sanasi qo'yilgan efemeridalari saqlanib qolgan: miloddan avvalgi 190-yillarda B tizimi jadvallarini ish stoli ustida hisoblayotgan, ismi ma'lum mutaxassis.

Jozef Epping

1835–1894 Germaniya

1889-yilda Shtrassmayerning nusxalari asosida oy jadvallarini birinchi bo'lib ochgan olim. Bu chalkash raqamlar ustunlari matematik astronomiya ekanligini dastlabki isboti va uni zamonaviy o'rganishning asosiy qadami bo'ldi.

Frans Ksaver Kugler

1862–1929 Niderlandiya

Oy va sayyoralar nazariyalarini batafsil qayta tikladi, tizimlarning parametrlarini aniqladi va mashhur oy uzunligini Kidinnu nomi bilan bog'lab, keyingi barcha tahlillarga asos bo'ladigan bazani yaratdi.

Otto Noygebauer

1899–1990 Avstriya va AQSh

Butun to'plamni 'Astronomik mixxat matnlar' asarida tahrir qildi va uni qadimgi matematik astronomiya tarixida chuqur tahlil qildi. A va B tizimlarini biz bilgan shaklda ta'riflab, Bobilning aniq fanlar sarchashmasidagi o'rnini mustahkamladi.

Asger Aabo

1922–2007 Daniya va AQSh

Tizimlarning ichki mantiqini tahlil qilib, loyihalarning qanday tuzilganini, bog'langanini va takomillashtirilganini ko'rsatdi. Barcha keyingi G'arb astronomiyasi ushbu taxtachalarda boshlangan bilimlardan kelib chiqqanligini ta'sirchan tarzda isbotladi.

Lis Brak-Bernsen

1946-yilda tug'ilgan Daniya va Germaniya

Oy nazariyasining asosiy funktsiyalarini kundaliklardagi kuzatilgan Oylik Olti (Lunar Six) oraliqlaridan qanday qilib keltirib chiqarish mumkinligini ko'rsatib, tayyor matematikani uni ta'minlagan asrlik osmon kuzatuvlari bilan qayta bog'ladi.

Matyo Ossendryver

1966-yilda tug'ilgan Niderlandiya va Germaniya

Protsedura matnlari va tizimlar algoritmlarini qayta tahrir qildi va 2016-yilda Yupiter uchun trapetsiya hisob-kitoblarini kashf etdi. Bu Salavkiylar davri Bobilida vaqt-tezlik grafiklari ustidagi geometriya, ya'ni integralning konseptual asosi edi.

A va B tizimlari nima

A va B tizimlari Bobil matematik astronomiyasining ikkita nazariy asosi bo'lib, ular oy va sayyoralarning kelajakdagi xatti-harakatlarini hisoblab chiqqan qoidalar oilasidir. Bu qoidalar Bobil va Urukdan topilgan to'rt yuz ellikka yaqin taxtacha va parchalarda saqlanib qolgan bo'lib, ushbu to'plam ta'riflagan barcha narsalarning tojidandir. Alomatlar seriyasi osmonda nima muhimligini belgilab bergan; kundaliklar buni olti asr davomida o'lchagan; zodiak hisoblashni imkonli qilgan; tizimlar esa buni hisoblab, yozilganidan yillar o'tib sodir bo'ladigan joylashuvlar, sanalar va tutilish ehtimollari jadvallarini tuzgan. Ular tarixdagi birinchi bashorat qiluvchi fanga aylandi va bu tizimlarning raqamlari (ismlari bo'lmasa ham) o'shandan beri chop etilgan har bir efemeridaning ajdodlari hisoblanadi.

Rasmlarsiz nazariya

Bobil nazariy astronomiyasining eng hayratlanarli xususiyati uning nimalarga ega emasligidir. Unda hech qanday sferalar, orbitalar, epitsikllar, koinot yo'q: biror bir geometrik model mavjud emas va unga qiziqish ham bo'lmagan. Yunon astronomi osmon qanday tuzilganini so'ragan; Bobil mirzosi esa osmon nima qilishini so'ragan va unga faqat arifmetika bilan javob bergan. Miqdorlar qoidalar orqali yuzaga keladi, qo'shiladi, chegaralanadi, qaytariladi va ustundan ustunga o'tkaziladi, natija esa bashorat bo'ladi. Tarixchilar bir vaqtlar buni cheklov deb bilishgan. Aslida uni bashorat qilish uchun rasm chizish shart emasligini, hodisani faqat raqamli tuzilma sifatida anglash mumkinligini tushunib yetishdek buyuk kashfiyot sifatida qabul qilish to'g'riroqdir. Mexanizmlar emas, tenglamalarda yashaydigan zamonaviy fan ham asosan Bobilcha qarashga kelib qo'shildi.

Qadam va zigzag

Ikki tizim o'zlarining asosiy matematik harakatlari bilan farqlanadi. A tizimi o'zgarishni qadam funktsiyalari bilan modellashtiradi: zodiak zonalarga bo'linadi va quyoshning oylik harakati kabi miqdor har bir zonada bitta doimiy qiymatni saqlab turadi va chegaralarda sakrashni amalga oshiradi. B tizimi esa miqdorning jadval satridan satriga chiziqli ravishda o'zgarishiga imkon beradi, miqdor doimiy farq bilan maksimumga ko'tariladi, ortga qaytadi va minimumga tushadi. Bu biz sinus chizig'i deb ataydigan shaklga yaqin uchburchakli to'lqin, ya'ni zigzag funktsiyasidir. Ikkala usul ham faqat qo'shish va ayirish orqali davriy o'zgarishlarni kodlash imkonini beradi va ikkalasi ham yaxshi ishlaydi. Ikkala tizim ham Bobil va Urukda asrlar davomida, ba'zan bir xil hodisalar uchun yonma-yon qo'llanilgan, ular go'yoki bir xil kuzatuv apparatida ishlaydigan ikkita raqobatchi dastur edi.

Jadvallar va protseduralar

Matnlar to'plami ikki janrga bo'linadi. Efemeridalar bu mahsulot: jadvallar, odatda har bir oy uchun bir qatordan iborat bo'lib, uning ustunlarida hisoblangan miqdorlar, quyoshning joylashuvi, oyning tezligi, kunduzgi yorug'lik uzunligi, tutilish ehtimoli kabi ma'lumotlar joylashgan va har biri o'z qo'shnisidan qoida asosida olinadi. Protsedura matnlari esa boshlang'ich kodi bo'lib, ularda "ko'paytirasiz, qo'shasiz, agar bu oshib ketsa, ayirasiz" kabi ikkinchi shaxsda berilgan ko'rsatmalar jadvallar bajaradigan algoritmlarni ifodalaydi. Bu juftlik hisoblash fanini, ya'ni dastur va uning natijasini belgilaydigan eng qadimgi bo'linish usulidir, va shu orqali tizimlarni qayta tiklash mumkin: mirzolar o'z usullarini hujjatlashtirib qo'yganlar.

Oy shoh asari

Tizimlarning eng oliy yutug'i bu oy nazariyasidir. Oyni bashorat qilish bir nechta bir-biriga bog'liq sikllarni bir vaqtda boshqarishni anglatadi: oyning o'zgaruvchan tezligi, quyoshning tezligi, tutilishlar sodir bo'ladigan tugunlarning harakati va yangi oy ko'rinishini belgilaydigan ufq geometriyasi. Bobil taqvimining birinchi kuni aynan shunga bog'liq bo'lgan. Katta oy efemeridalari bularning barchasini o'nlab bir-biriga bog'langan ustunlarda boshqaradi, ular orasida o'n sakkiz yillik tutilish sikli davomida oy anomaliyasini kuzatadigan mashhur ustun ham bor. Yakunda esa madaniyat doim e'tibor qaratgan ko'rsatkichlar kelib chiqadi: yangi va to'lin oy kunlari va soatlari, tutilish ehtimoli, oyning ko'rinishi, kundaliklar asrlar davomida o'lchab kelgan "Oylik Olti" intervallari, endi ular sodir bo'lishidan oldin hisoblangan.

Yarim soniyagacha aniq oy

Bir raqam tizimlarga mashhurlik keltirgan. B tizimining o'rtacha sinodik oyi 60 lik tizimda 29;31,50,08,20 kun shaklida yozilib, zamonaviy o'lchangan qiymatdan yarim soniyadan ham kam xatolik bilan farq qiladi. Bu ko'rsatkich kundaliklarda qayd etilgan asrlik tutilish vaqtlaridan kelib chiqqan bo'lib, uning keyingi tarixi alohida bir darsdir: Gipparx uni qabul qilgan, Ptolomey unga asoslangan, va ular orqali u dunyoning astronomik va taqvim an'analariga, jumladan Yahudiy taqvimidagi oy hisob-kitoblariga kiritilgan. Keyingi an'analar bu yutuqni Kidinnu nomi bilan bog'lagan. Buni kim aynan qo'lga kiritganidan qat'i nazar, ushbu raqam sabr bilan qilingan, qayd etib borilgan kuzatishlar qanday ajoyib natijalar berishining antik davrdagi eng yorqin dalilidir.

Davrlar bo'yicha sayyoralar

Sayyoralar nazariyasi boshqa bir poydevorga, kuzatuvlar arxividan olingan davriy munosabatlarga, ya'ni uzoq muddatli tengliklarga asoslanadi. Masalan, Venera sakkiz yilda besh marta, Saturn ellik to'qqiz yilda ellik yetti marta, Yupiter esa to'rt yuz yigirma yetti yilda uch yuz to'qson bir marta o'z hodisalarini takrorlaydi. Tizimlar shu asosda an'ana doim kuzatib kelgan voqealarni, birinchi va oxirgi ko'rinishlarni, to'xtashlarni va retrograd (teskari harakat) yo'nalishlarni, har biriga sana va zodiakdagi joylashuvini belgilab hisoblagan. Bu kundaliklarda va alomatlar seriyasida o'qiladigan voqealarning ayni o'zi edi; tizimlar bu jarayonni hisoblash mumkin bo'lgan holatga keltirib, kalendarga yilning sayyora hodisalarini oldindan e'lon qilish imkonini berdi.

Yupiter va trapetsiya

2016-yilda ushbu matnlar to'plami haqiqiy shov-shuv keltirib chiqardi. Matyo Ossendryver (Mathieu Ossendrijver) Yupiterning harakatini geometrik jihatdan hisoblovchi protsedura matnlarini aniqladi: sayyoraning kunlik harakati vaqt o'tishi bilan kamayib boruvchi miqdor sifatida ko'riladi, bu kamayish ostidagi shakl trapetsiya deb olinadi va Yupiterning oltmish kunlik umumiy o'zgarishi trapetsiya maydoni deb qabul qilinadi. Keyin hamroh hisob-kitob bu maydonni teng yarmini bosib o'tish vaqtini topish uchun ikkiga bo'ladi. Bu integralning konseptual yadrosidir, tezlik egriligi ostidagi maydonni to'plangan miqdor sifatida ko'rish; Salavkiylar davridagi Bobilda, ushbu g'oya uzoq vaqt ularga tegishli deb kelingan XIV asrdagi Oksford hisobchilaridan 14 asr oldin loyga chizilgan. Bu kashfiyot matematika tarixining bir bobi qayta yozilishiga sabab bo'ldi va u tizimlarning arifmetik libosini hech qachon ularning g'oyaviy qashshoqligi deb o'ylamasligimiz haqida ogohlantiradi.

So'nggi mirzolar

Tizimlar asosan ikkita joyda faoliyat yuritgan: Bobildagi Esagila ma'badi atrofidagi to'garak va Uruqdagi buyuk olimlar oilalari, ularning yozuvlari tufayli biz bu ishlarning qanday qilinganini ko'rishimiz mumkin. Jadvallar imzolangan, sana qo'yilgan va kimga tegishli ekanligi yozilgan; munosib bo'lmagan holda omon qolgan munajjimlar bashorati sohibi Anu-belshununing o'g'li, uruqlik mirzo Anu-aba-uter, miloddan avvalgi 190-yillarda 'Enuma Anu Enlil mirzosi' unvoni ostida B tizimi efemeridalarini hisoblagan. Ushbu unvon o'z maqsadidan asrlar oldin alomatlar bilan shug'ullanishni to'xtatgan bo'lsa-da, ularning kasbini ko'rsatar edi. Ma'bad hujjatlari bunday insonlarning kuzatuv o'tkazish va jadvallar tayyorlash uchun maosh olganini ko'rsatadi. Bu an'ana mixxat yozuvining oxirigacha hisob-kitob qildi: eng so'nggi sanasi ko'rsatilgan astronomik taxtacha milodiy 75-yilda yozilgan almanax bo'lib, u yozuvning so'nggi o'quvchilari xotirasida edi.

Yunonlar orasidagi shuhrat

Bobil fani deyarli doim anonim bo'lib kelgan; lekin bu tizimlar istisnodir. Yunon yozuvchilari Xaldey ustalarining ismlarini yetkazgan: ularning ortida A va B tizimlari bilan bog'langan Nabu-rimannu va Kidinnu turadigan Naburianos va Kidenas, shuningdek, Pergamon saroyidagi xaldeylik mutaxassis Sudines ham yodga olinadi. Garchi ma'lumotlar biz xohlaganchalik aniq bo'lmasa-da, ularning mashhurligi tarixiy faktdir: Yunon dunyosi bu jadvallarning ma'lum ustalar ishi ekanini bilar va ularning parametrlarini asrlar davomida ismlari bilan iqtibos keltirar edi. Tutilish davrlari va oy parametrlarini olgan Gipparx orqali; sayyoralarni aniq Bobil arifmetikasi bilan hisoblaydigan Rim Misridagi astronomik papiruslar orqali; va sharqqa, Hind astronomiyasining davriy munosabatlariga o'tgan yo'llar orqali tizimlarning raqamlari barcha kerakli chegaralarni bosib o'tdi, chunki arifmetika hech qanday tarjimaga muhtoj emas.

Matematikani tiklash

Tizimlarni zamonaviy tarzda tiklash ilmiy izlanishlarning eng e'tiborga molik voqealaridan biridir. Jozef Epping 1889-yilda Shtrassmayerning nusxalaridan foydalanib, birinchi bo'lib oy jadvallarini ochgan; Frans Kugler keyingi o'n yilliklarda nazariyalar va parametrlarni qayta tikladi va oy uzunligini Kidinnu nomi bilan bog'ladi; Otto Noygebauerning 1955-yildagi "Astronomik mixxat matnlar" butun to'plamni tahrir qildi va A va B tizimlarini uzil-kesil ta'rifladi; Asger Aabo ularning ichki mantiqini chuqur tahlil qildi; Lis Brak-Bernsen oy funktsiyalari kundaliklarda kuzatilgan intervallardan qanday keltirib chiqarilishini ko'rsatib, kuzatish va hisoblash o'rtasidagi halqani yopdi; Matyo Ossendryver esa protsedura matnlari qayta tahrir qilib, trapetsiyalarni topdi. Ular tufayli, eng qadimgi bashorat fani bugungi kunda o'zining algoritmlarigacha o'qilishi va o'zi bashorat qilgan osmon bilan qatorma-qator tekshirilishi mumkin.

Ushbu bo'limni qanday o'qish kerak

Yuqoridagi kartalar mexanizmni qismlarga ajratadi: arifmetik yondashuv, ikki turdagi funktsiyalar, jadvallar va protseduralar, oy nazariyasi va uning mashhur oyi, sayyoralar davrlari, kutilmagan trapetsiya yangiligi, ustaxonalar, mashhur ismlar va bilimlarning o'tishi. Tizimlarni ta'minlagan ma'lumotlar uchun Astronomik kundaliklar sahifasiga; ular hisoblaydigan koordinatalar tizimi haqida Zodiakning ixtirosiga; kuzatuvlarning asl maqsadi haqida Enuma Anu Enlil va tutilish taxtachalari sahifalariga; butun an'ana uchun Bobil alomatlar astrologiyasi sahifasiga qarang. A va B tizimlari va ularning dunyosi barcha ellik ikki tilda Tarot Academy qo'llanmasining bir qismidir.

Ko'p beriladigan savollar

Bobil alomatlar astrologiyasi

So'nggi maqolalar

Taro kartalarining qadimiy donishmandligini kashf eting va ma'naviy yo'lingizdagi sirlarni oching. Blogimiz taro o'qishning boy ramziyligi, ma'nolari va amaliy qo'llanilishini tushunishga eltuvchi darvozadir.