A derradeira proeza

Sistemas A e B

Nos seus últimos séculos, a astronomia babilónica realizou algo sem precedentes: calculou o futuro. Duas teorias aritméticas rivais, uma operando por degraus e outra por ziguezagues, geravam tábuas de posições lunares e planetárias com anos de antecedência, sem geometria, sem cosmos e sem modelos físicos, alcançando uma duração do mês com precisão inferior a meio segundo. A astronomia grega aproveitou discretamente estes resultados, e toda a ciência posterior fez o mesmo.

2
sistemas rivais
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tábuas e fragmentos
0.4 s
erro na duração do mês

Por dentro dos sistemas

A astronomia matemática é um mecanismo composto por várias peças: dois tipos de funções, dois géneros textuais, uma teoria lunar, períodos planetários e as oficinas que tudo coordenavam. Os cartões desmontam esta engrenagem.

🧮

Teoria sem figuras

a abordagem aritmética, não geometria

A astronomia teórica babilónica não tem esferas, círculos nem cosmos: é pura aritmética. As datas e posições de um fenómeno são geradas por regras numéricas e registadas em tábuas. O objetivo nunca foi representar visualmente os céus, mas sim prevê-los, e a aritmética cumpriu essa missão com exatidão.

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Sistema A: a função em degrau

o primeiro método zonas e saltos

O Sistema A divide o zodíaco em zonas e atribui ao Sol ou a um planeta uma velocidade fixa em cada uma, saltando de valor nos limites. De aparência rudimentar mas extremamente eficaz na prática, estes degraus traduzem as variações reais do movimento ao longo do círculo, acompanhando os fenómenos com admirável fidelidade.

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Sistema B: o ziguezague

o segundo método subida e descida regradas

O Sistema B faz com que a própria grandeza varie linearmente, subindo por uma diferença constante até a um valor máximo, refletindo e descendo até a um mínimo: a função em ziguezague. Traçada num gráfico, forma uma onda triangular que aproxima uma curva sinusoidal, captando uma variação contínua apenas com somas e subtrações.

📊

As efemérides

o produto o futuro em colunas

O produto final destes sistemas é a efeméride: uma tábua, mês a mês, de grandezas calculadas, como posições, velocidades, tempos e possibilidades de eclipse, em que cada coluna alimenta a seguinte. Centenas de exemplares sobreviveram da Babilónia e de Uruk, alguns cobrindo anos posteriores à sua redação: o futuro em formato de tabela.

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Os textos de procedimento

o código-fonte algoritmos na argila

A par das tábuas existem textos de instruções: multiplica-se por este valor, soma-se aquele, e se o resultado ultrapassar determinado limite subtrai-se outro. São verdadeiros algoritmos, redigidos na segunda pessoa como receitas, que preservam a matemática operacional dos sistemas, o código-fonte da mais antiga ciência preditiva.

🌙

A teoria lunar

a obra-prima o problema mais difícil resolvido

A Lua, com as suas anomalias interligadas, representava o maior desafio de cálculo da Antiguidade, e as efemérides lunares são a obra-prima destes sistemas: tábuas multicolunas que articulam a velocidade variável da Lua e do Sol, os nós orbitais e a geometria do horizonte para prever sizígias, eclipses e a visibilidade do crescente.

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Um mês ao meio segundo

o número célebre 29;31,50,08,20 dias

O mês sinódico médio do Sistema B, expresso sexagesimalmente como 29;31,50,08,20 dias, difere do valor moderno por bem menos de meio segundo. Este parâmetro, apurado a partir de séculos de registos de eclipses nos diários, foi adotado por Hiparco, preservado por Ptolomeu e ainda serve de base a calendários em uso.

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Os períodos planetários

os planetas dominados relações de período

A teoria planetária assenta em relações de período extraídas dos arquivos: Vénus repete os seus fenómenos 5 vezes em 8 anos, Saturno 57 em 59 e Júpiter 391 em 427. Com estas equivalências, os sistemas calculavam as estações, aparições e desaparições de cada planeta, os mesmos fenómenos que os diários registavam há séculos.

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Júpiter e o trapézio

a surpresa protocálculo

Textos de procedimento decifrados em 2016 calculam o deslocamento de Júpiter como a área de um trapézio sob uma curva de velocidade em função do tempo, determinando inclusive o instante que divide essa área ao meio. Trata-se do núcleo conceptual do cálculo integral, gravado em argila catorze séculos antes de Oxford desenhar a mesma figura.

🏠

Os últimos escribas

Babilónia e Uruk até 75 d.C.

Os sistemas eram aplicados em duas oficinas ligadas aos templos: o círculo do Esagila na Babilónia e as famílias eruditas de Uruk, cujos cólofonos assinam e datam as tábuas. Os «escribas de Enuma Anu Enlil» assalariados calculavam efemérides enquanto a série de presságios continuava a dar nome ao seu cargo, até ao desaparecimento da escrita cuneiforme.

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Naburianos e Kidenas

o prestígio fama entre os gregos

Os autores gregos recordavam os mestres caldeus pelo nome: Naburianos e Kidenas, os nossos Nabu-rimannu e Kidinnu, associados pela tradição posterior aos Sistemas A e B, bem como Sudines, conselheiro de reis. Pela primeira vez na ciência babilónica, uma tradição anónima ganhava autores celebrados.

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Na astronomia grega e indiana

a transmissão parâmetros sem fronteiras

Hiparco aproveitou os períodos de eclipses e a duração do mês; papiros gregos no Egito romano calculavam posições planetárias através da aritmética babilónica séculos mais tarde; e a astronomia indiana integrou as relações de período. Os valores numéricos destes sistemas sobreviveram à sua escrita, língua e civilização, a verdadeira definição de um resultado duradouro.

Os célebres e os anónimos

Os astrónomos caldeus que os gregos recordavam pelo nome, o escriba cujas tábuas assinadas sobreviveram e os investigadores modernos que reconstituíram a matemática gravada na argila.

Nabu-rimannu

c. séc. V a.C. Babilónia

Astrónomo que as fontes gregas designam por Naburianos, a quem a tradição posterior atribui a criação do Sistema A, a teoria baseada em funções em degrau. Por trás desta atribuição encontra-se a geração que transformou pela primeira vez os dados acumulados dos diários num método de cálculo sistemático.

Kidinnu

c. séc. IV a.C. Babilónia

Conhecido como Kidenas entre os gregos, associado pela tradição ao Sistema B e ao seu célebre cálculo da duração do mês. Independentemente do seu papel exato, o seu nome tornou-se na Antiguidade sinónimo da precisão astronómica caldeia, citado durante séculos após o declínio da sua civilização.

Sudines

séc. III a.C. Babilónia e Pérgamo

Astrónomo e adivinho caldeu lembrado pelo seu serviço na corte de Átalo I de Pérgamo, mencionado por autores clássicos ao lado de Naburianos e Kidenas: o especialista babilónico como figura de prestígio internacional.

Anu-aba-uter

início do séc. II a.C. Uruk

Escriba da família Sin-leqi-unninni, filho do Anu-belshunu da página dos horóscopos, cujas efemérides assinadas e datadas sobreviveram: um calculador profissional das tábuas do Sistema B em atividade por volta de 190 a.C.

Joseph Epping

1835–1894 Alemanha

Decifrou pela primeira vez as tábuas lunares em 1889, trabalhando a partir das cópias de Strassmaier: a primeira demonstração de que as desconcertantes colunas de números constituíam uma astronomia matemática, marco fundador do seu estudo moderno.

Franz Xaver Kugler

1862–1929 Países Baixos

Reconstituiu em detalhe as teorias lunar e planetária, identificou os parâmetros fundamentais dos sistemas e associou a famosa duração do mês ao nome de Kidinnu, criando a estrutura que todos os estudos posteriores vieram aperfeiçoar.

Otto Neugebauer

1899–1990 Áustria e Estados Unidos

Editou a totalidade do acervo na obra Astronomical Cuneiform Texts e analisou-o na sua história da astronomia matemática antiga, definindo os Sistemas A e B tal como os conhecemos e consolidando o lugar pioneiro da Babilónia nas ciências exatas.

Asger Aaboe

1922–2007 Dinamarca e Estados Unidos

Analisou a lógica interna dos sistemas, demonstrando como os métodos eram estruturados, articulados e refinados, e defendeu com grande influência que toda a astronomia ocidental posterior descende dos fundamentos lançados nestas tábuas.

Lis Brack-Bernsen

n. 1946 Dinamarca e Alemanha

Demonstrou como as funções centrais da teoria lunar podiam ser derivadas dos intervalos observados dos Seis Lunares nos diários, restabelecendo a ligação entre a matemática acabada e os séculos de observação do horizonte que a alimentaram.

Mathieu Ossendrijver

n. 1966 Países Baixos e Alemanha

Reeditou os textos de procedimento, os algoritmos dos sistemas, e identificou em 2016 os cálculos com trapézios para Júpiter: geometria aplicada a gráficos de velocidade em função do tempo, a essência concetual do cálculo integral, na Babilónia selêucida.

O que são os Sistemas A e B

Os Sistemas A e B são os dois quadros teóricos da astronomia matemática babilónica: conjuntos de regras aritméticas, documentados em cerca de quatrocentas e cinquenta tábuas e fragmentos da Babilónia e de Uruk, que calculavam com antecedência o comportamento da Lua e dos planetas. Representam o ponto mais alto de tudo o que este compêndio descreve. A série de presságios definiu o que importava no céu; os diários mediram-no ao longo de seis séculos; o zodíaco tornou-o computável; e os sistemas efetuaram os cálculos, gerando tábuas de posições, datas e possibilidades de eclipse com anos de antecedência relativamente à sua escrita. Constituem a primeira ciência preditiva da história, e os seus números, embora não os seus nomes, são os antepassados de todas as efemérides publicadas desde então.

Teoria sem figuras

O aspeto mais surpreendente da astronomia teórica babilónica é aquilo de que prescinde. Não existem esferas, órbitas, epiciclos nem cosmos: nenhum modelo geométrico de qualquer tipo, nem qualquer interesse em conceber um. Enquanto um astrónomo grego procurava saber como eram os céus, o escriba babilónico perguntava o que o céu iria fazer, respondendo exclusivamente com a aritmética. As grandezas são geradas por regras, somadas, limitadas, refletidas e transportadas de coluna em coluna, resultando numa previsão rigorosa. No passado, alguns historiadores interpretaram isto como uma limitação. É mais correto encará-lo como uma descoberta: a revelação de que a previsão dispensava imagens figurativas e de que um fenómeno podia ser apreendido como pura estrutura numérica. A ciência moderna, expressa em equações e não em mecanismos visuais, acabou por convergir amplamente com a perspetiva babilónica.

O degrau e o ziguezague

Os dois sistemas distinguem-se no seu procedimento matemático fundamental. O Sistema A modela a variação através de funções em degrau: o zodíaco é dividido em zonas e a grandeza em causa, por exemplo o avanço mensal do Sol, assume um valor constante em cada zona, sofrendo um salto nos limites entre elas. O Sistema B, por sua vez, faz com que a grandeza varie linearmente de linha para linha da tábua, subindo por uma diferença constante até a um valor máximo, invertendo o sentido e descendo até a um mínimo: trata-se da função em ziguezague, uma onda triangular que aproxima aquilo que hoje traçaríamos como uma curva sinusoidal. Ambas constituem formas de traduzir variações periódicas recorrendo apenas à adição e à subtração, e ambas funcionam. Os dois sistemas coexistiram durante séculos na Babilónia e em Uruk, por vezes aplicados aos mesmos fenómenos, como sistemas operacionais concorrentes a correr sobre a mesma base de dados observacionais.

Tábuas e procedimentos

O acervo divide-se em dois géneros textuais. As efemérides constituem o produto: tábuas, habitualmente com uma linha por mês, cujas colunas contêm grandezas calculadas, como a posição do Sol, a velocidade da Lua, a duração do dia e a possibilidade de eclipse, derivando cada valor das colunas vizinhas através de regras fixas. Os textos de procedimento constituem o código-fonte: instruções redigidas na segunda pessoa (multiplica-se, soma-se, se ultrapassar determinado valor subtrai-se outro) que enunciam os algoritmos executados pelas tábuas. Este par representa a mais antiga manifestação de uma divisão basilar da ciência computacional, o programa e o seu resultado, explicando a razão pela qual estes sistemas puderam ser integralmente reconstituídos: os escribas documentaram os seus próprios métodos.

A obra-prima lunar

A realização máxima destes sistemas reside na teoria lunar. Prever o movimento da Lua exige articular múltiplos ciclos interligados: a velocidade variável da própria Lua, a do Sol, a deslocação dos nós onde ocorrem os eclipses e a geometria do horizonte que determina se o primeiro crescente será visível, questão crucial da qual dependia o primeiro dia de cada mês no calendário babilónico. As grandes efemérides lunares processam todos estes fatores em doze ou mais colunas coordenadas, incluindo a célebre coluna que acompanha a anomalia lunar ao longo do ciclo de eclipses de dezoito anos. No termo do processo obtêm-se as grandezas que a sociedade mesopotâmica mais valorizava: datas e horas da Lua nova e da Lua cheia, probabilidade de eclipses, visibilidade do crescente e os intervalos dos Seis Lunares medidos durante séculos nos diários, agora calculados antecipadamente.

Um mês ao meio segundo

Um número em particular sintetiza o prestígio destes sistemas. O mês sinódico médio do Sistema B, expresso em notação sexagesimal como 29;31,50,08,20 dias, difere do valor medido pela ciência moderna por bem menos de meio segundo. Este valor foi apurado a partir de séculos de registos cronometrados de eclipses nos diários, e a sua transmissão histórica é uma lição em si mesma: Hiparco adotou-o, Ptolomeu consagrou-o e, através deles, entrou nas tradições astronómicas e calendáricas mundiais, sendo a duração do mês no calendário hebraico um dos seus descendentes diretos. A tradição posterior associou esta proeza ao nome de Kidinnu. Independentemente de quem o calculou originalmente, este número é a demonstração mais contundente da Antiguidade sobre o que a observação metódica e contínua pode alcançar.

Os planetas por períodos

A teoria planetária assenta num fundamento diferente: as relações de período, igualdades de longo prazo extraídas dos arquivos observacionais. Vénus repete as suas fases e aparições 5 vezes em 8 anos, Saturno 57 em 59 e Júpiter 391 em 427. Com base nestas correspondências, os sistemas calculavam os acontecimentos que a tradição sempre acompanhara, primeiras e últimas visibilidades, estações e marcos do laço retrógrado, atribuindo a cada um a respetiva data e posição no zodíaco. Trata-se do mesmo reportório de fenómenos que os diários anotavam e a série de presságios interpretava; os sistemas fecharam o ciclo ao tornar esse reportório previsível por cálculo, permitindo a um almanaque anunciar o calendário planetário do ano com antecedência.

Júpiter e o trapézio

Em 2016, este acervo de textos reservou uma enorme surpresa. Mathieu Ossendrijver identificou textos de procedimento que calculam a deslocação de Júpiter por via geométrica: o movimento diário do planeta é tratado como uma grandeza que diminui ao longo do tempo, a figura delimitada sob esse declínio é um trapézio e o deslocamento total de Júpiter ao longo de sessenta dias corresponde à área desse trapézio, que um cálculo complementar divide depois em metades iguais para determinar o momento da meia-passagem. Encontra-se aqui o núcleo concetual do cálculo integral, a área sob uma curva de taxa de variação enquanto grandeza acumulada, traçada em argila na Babilónia selêucida, catorze séculos antes de os calculadores medievais de Oxford, a quem a ideia era tradicionalmente atribuída, desenharem a mesma figura. Esta descoberta reescreveu um capítulo da história da matemática e serve de aviso contra o erro de confundir a roupagem aritmética dos sistemas com simplicidade concetual.

Os últimos escribas

Os sistemas funcionavam em dois grandes centros: o círculo em torno do templo Esagila na Babilónia e as famílias eruditas de Uruk, cujos cólofonos permitem acompanhar o trabalho a ser executado. As tábuas eram assinadas, datadas e guardadas como propriedade intelectual. O escriba Anu-aba-uter de Uruk, filho do Anu-belshunu cujo horóscopo sobreviveu, calculava efemérides do Sistema B por volta de 190 a.C. sob o título de «escriba de Enuma Anu Enlil», mantendo a série de presságios a designar a profissão séculos depois de os seus métodos terem superado a adivinhação. Documentos dos templos mostram que estes homens recebiam remuneração regular para manter a vigilância e elaborar as tábuas. A tradição calculou até ao próprio fim da escrita cuneiforme: a última tábua astronómica datável, um almanaque, foi redigida em 75 d.C., já na fase final do uso da escrita cuneiforme.

Fama entre os gregos

A ciência babilónica foi quase sempre anónima; os sistemas constituem a exceção. Os autores gregos transmitiram os nomes dos mestres caldeus: Naburianos e Kidenas, por trás dos quais se encontram os nossos Nabu-rimannu e Kidinnu, ligados pela tradição tardia aos Sistemas A e B respetivamente, e Sudines, o perito caldeu ativo na corte de Pérgamo. Embora as atribuições sejam menos precisas do que desejaríamos, a notoriedade em si é um facto histórico: o mundo grego sabia que estas tábuas eram obra de mestres identificáveis e citou os seus parâmetros pelo nome durante séculos. Através de Hiparco, que incorporou os períodos de eclipses e os parâmetros lunares; dos papiros astronómicos do Egito romano, que calculavam posições planetárias por meio de métodos abertamente babilónicos; e de vias de transmissão para oriente que alcançaram as relações de período da astronomia indiana, os números destes sistemas transpuseram todas as fronteiras relevantes, sem necessitarem de tradução porque a aritmética não a exige.

A recuperação da matemática

A recuperação moderna destes sistemas constitui um dos feitos mais notáveis da erudição histórica. Joseph Epping, trabalhando a partir das transcrições manuais de Strassmaier, decifrou pela primeira vez as tábuas lunares em 1889; Franz Kugler reconstituiu as teorias e os parâmetros nas décadas seguintes e associou a duração do mês ao nome de Kidinnu; Otto Neugebauer publicou em 1955 a obra Astronomical Cuneiform Texts, editando a totalidade do acervo e fixando a definição dos Sistemas A e B; Asger Aaboe dissecou a sua lógica interna; Lis Brack-Bernsen revelou como as funções lunares podiam ser deduzidas dos intervalos observados nos diários, unindo a observação ao cálculo; e Mathieu Ossendrijver reeditou os textos de procedimento e descobriu as computações geométricas dos trapézios. Graças a estes investigadores, a ciência preditiva mais antiga do mundo pode hoje ser lida até ao nível dos seus algoritmos e comprovada, linha a linha, face ao céu que procurava prever.

Como ler esta secção

Os cartões acima decompõem a engrenagem astronómica: a abordagem puramente aritmética, os dois tipos de funções, as tábuas e os procedimentos, a teoria lunar e o seu mês célebre, os períodos planetários, a surpreendente geometria do trapézio, as oficinas dos templos, os nomes consagrados e a transmissão histórica. Para conhecer os dados que alimentaram estes sistemas, consulta a página dos Diários Astronómicos; para o sistema de coordenadas em que operavam, vê a invenção do zodíaco; para o propósito original das observações, consulta as páginas de Enuma Anu Enlil e das tábuas de eclipses; e para compreender toda a tradição envolvente, explora a página da astrologia de presságios babilónica. Os Sistemas A e B e o seu universo integram o compêndio da Tarot Academy em todas as cinquenta e duas línguas.

Perguntas frequentes

Astrologia de presságios babilónica

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