הישג השיא המאוחר

מערכות A ו-B

במאות שנותיה האחרונות חוללה האסטרונומיה הבבלית פריצת דרך חסרת תקדים: היא חישבה את העתיד. שתי תאוריות אריתמטיות מתחרות, האחת פועלת במדרגות והאחרת בזיגזגים, הפיקו לוחות של מיקומי הירח וכוכבי הלכת שנים מראש, ללא גאומטריה, ללא מודל קוסמולוגי, ועם אורך חודש מדויק בדיוק של פחות מחצי שנייה. האסטרונומיה היוונית נשענה בשקט על תוצאות אלה, וכך עשו כל הבאים אחריה.

2
מערכות מתחרות
450
לוחות ושברי לוחות
0.4 s
סטייה באורך החודש

בתוך המערכות

האסטרונומיה המתמטית היא מנגנון מורכב של רכיבים: שני סוגי פונקציות, שתי סוגות טקסטואליות, תאוריית ירח, מחזורי כוכבי לכת ובתי המלאכה שהפעילו את המערכת כולה. הכרטיסים מפרקים את המנגנון למרכיביו.

🧮

תאוריה ללא תמונות

הגישה המדעית אריתמטיקה, לא גאומטריה

האסטרונומיה התאורטית הבבלית אינה כוללת ספירות, מעגלים או מודל קוסמי: היא אריתמטיקה טהורה. תאריכים ומיקומים של תופעות שמימיות מופקים באמצעות כללים מספריים ונרשמים בלוחות. המטרה מעולם לא הייתה לצייר את השמיים, אלא לחזות את התנהגותם, והאריתמטיקה עשתה בדיוק זאת.

▦

מערכת A: פונקציית המדרגה

הדרך הראשונה אזורים וקפיצות

מערכת A מחלקת את גלגל המזלות לאזורים ומייחסת לשמש או לכוכב הלכת מהירות קבועה בכל אזור, עם קפיצה בגבולות המעבר. במבט ראשון המבנה נראה גס, אך בפועל הוא רב-עוצמה: המדרגות מקודדות את האופן שבו המהירות משתנה לאורך המעגל, והשיטה עוקבת אחר התופעות בדיוק מפתיע.

📈

מערכת B: פונקציית הזיגזג

הדרך השנייה עלייה וירידה לפי כלל

מערכת B מאפשרת לגודל הנמדד להשתנות באופן ליניארי: הוא עולה בהפרש קבוע עד למקסימום, משתקף ויורד עד למינימום, במתכונת פונקציית הזיגזג. בתרשים גרפי זהו גל משולש המהווה קירוב לגל סינוס, כלומר שינוי רציף שנלכד במלואו באמצעות פעולות חיבור וחיסור בלבד.

📊

לוחות האפמרידים

התוצר העתיד בטורים

התוצר של המערכות הוא לוח האפמרידים: טבלה חודש אחר חודש של ערכים מחושבים, מיקומים, מהירויות, זמנים ואפשרויות ליקוי, כאשר כל טור מזין את הטור הבא. מאות לוחות שרדו מבבל ומארך, חלקם חושבו שנים קדימה מעבר לזמן כתיבתם: העתיד ערוך בטבלאות.

📜

הטקסטים הפרוצדורליים

קוד המקור אלגוריתמים על חרס

לצד הלוחות עומדים טקסטים של הוראות חישוב: עליך להכפיל בזה, להוסיף את זה, ואם התוצאה עוברת סכום מסוים עליך לחסר. אלה אלגוריתמים הכתובים בגוף שני כמתכונים, והם משמרים את המתמטיקה המעשית של המערכות, קוד המקור של המדע החישובי והחיזויי העתיק בעולם.

🌙

תאוריית הירח

יצירת המופת פתרון הבעיה הקשה מכולן

הירח, על מגוון האי-סדירויות המשתלבות בתנועתו, היה האתגר החישובי הקשה ביותר בעת העתיקה, ולוחות האפמרידים של הירח הם גולת הכותרת של המערכות: טבלאות מרובות טורים המשלבות את מהירות הירח המשתנה, מהירות השמש, נקודות הצומת והאופק כדי לחזות מולדות ומילואים, אפשרויות ליקוי ונראות של מולד הירח הראשון.

⏱️

חודש בדיוק של חצי שנייה

הערך המפורסם 29;31,50,08,20 ימים

אורך החודש הסינודי הממוצע של מערכת B, שנכתב בבסיס 60 כ-29;31,50,08,20 ימים, סוטה מן הערך המודרני בפחות מחצי שנייה. פרמטר זה, שזוקק ממאות שנות תצפיות ליקויים ביומנים האסטרונומיים, אומץ בידי היפרכוס, עבר לתלמי, ומשמש יסוד ללוחות שנה הנהוגים עד היום, ובהם הלוח העברי.

🪐

מחזורי כוכבי הלכת

אילוף כוכבי הלכת יחסי מחזור

תאוריית כוכבי הלכת נשענת על יחסי מחזור שנשלפו מתוך רשומות התצפית: נוגה חוזרת על מופעיה 5 פעמים ב-8 שנים, שבתאי 57 פעמים ב-59 שנים, וצדק 391 פעמים ב-427 שנים. בעזרת יחסים אלה חישבו המערכות את נקודות העמידה, ההופעות וההיעלמויות של כל כוכב לכת, אותן תופעות שהיומנים תיעדו במשך מאות שנים.

📐

צדק וחישוב הטרפז

ההפתעה המדעית קדם-חשבון אינפיניטסימלי

טקסטים פרוצדורליים שפוענחו ב-2016 מחשבים את התקדמות צדק כשטח טרפז תחת עקומת מהירות-זמן, ואף מוצאים את נקודת הזמן החוצה שטח זה לשניים. זהו הלב הרעיוני של החשבון האינטגרלי, חרוט על גבי לוח חרס, ארבעה-עשר מאות שנים לפני שמלומדי אוקספורד בימי הביניים שרטטו את אותה צורה בדיוק.

🏠

הסופרים האחרונים

בבל וארך עד 75 לספירה

המערכות פעלו בשני בתי מלאכה מקדשיים: החוג שסביב מקדש אסגילה בבבל ומשפחות המלומדים של ארך, שהקולופונים שלהם חותמים ומתארכים את הלוחות. 'סופרי אנומה אנו אנליל' בעלי שכר חישבו לוחות אפמרידים כאשר סדרת האותות העתיקה עדיין העניקה להם את תוארם המקצועי, עד לגוויעתו הסופית של כתב היתדות.

🏛️

נבוריאנוס וקידנאס

המוניטין פרסום בקרב היוונים

סופרים יוונים זכרו את שמות המלומדים הכשדים: נבוריאנוס וקידנאס, הם נבו-רימנו וקידינו שלנו, שהמסורת המאוחרת קושרת למערכות A ו-B, וכן סודינס, ששימש יועץ למלכים. בפעם היחידה בתולדות המדע הבבלי זכתה המסורת האנונימית במחברים מפורסמים בעלי שם.

🌍

המעבר לאסטרונומיה היוונית וההודית

ההעברה הבין-תרבותית פרמטרים ללא גבולות

היפרכוס אימץ את מחזורי הליקויים ואת אורך החודש; פפירוסים יווניים במצרים הרומית חישבו את כוכבי הלכת באריתמטיקה בבלית מאות שנים לאחר מכן; והאסטרונומיה ההודית קלטה את יחסי המחזור. המספרים של המערכות שרדו מעבר לכתב, לשפה ולציוויליזציה שיצרו אותם, וזהו המבחן העליון של הישג מדעי.

בעלי השם והאלמונים

האסטרונומים הכשדים שאפילו היוונים זכרו בשמם, סופר שלוחותיו החתומים שרדו, והחוקרים המודרניים ששחזרו את המתמטיקה מתוך לוחות החרס.

נבו-רימנו

המאה ה-5 לפנה"ס בקירוב בבל

האסטרונום שמקורות יווניים מכנים נבוריאנוס, ואשר מסורת מאוחרת מייחסת לו את פיתוח מערכת A המבוססת על פונקציות מדרגה. מאחורי ייחוס זה עומד הדור שהפך לראשונה את הנתונים שנצברו ביומנים האסטרונומיים למערכת חישוב סדורה.

קידינו

המאה ה-4 לפנה"ס בקירוב בבל

קידנאס בפי היוונים, שיוחסה לו במסורת מערכת B וערך אורך החודש המפורסם שלה. יהא אשר יהא תפקידו המדויק, שמו הפך בעת העתיקה לסמל של דיוק האסטרונומיה הכשדית, וצוטט במשך מאות שנים לאחר שתרבותו נעלמה.

סודינס

המאה ה-3 לפנה"ס בבל ופרגמון

אסטרונום ומנחש כשדי ששירת בחצר אטאלוס הראשון מלך פרגמון, ונזכר בכתבי מחברים קלאסיים לצד נבוריאנוס וקידנאס: דוגמה למומחה הבבלי ששירותיו הפכו למבוקשים ברחבי העולם ההלניסטי.

אנו-אבא-אותר

ראשית המאה ה-2 לפנה"ס ארך

סופר ממשפחת סין-לקי-אוניני ובנו של אנו-בלשונו, שלוחות האפמרידים החתומים והמתוארכים שחישב שרדו: מחשב שולחני פעיל של לוחות מערכת B, הניתן לזיהוי בעבודתו סביב 190 לפנה"ס.

יוזף אפינג

1835–1894 גרמניה

פיצח לראשונה את לוחות הירח ב-1889 על בסיס העתקיו של שטרסמאייר: הוכחה ראשונה לכך שטורי המספרים המסתוריים מייצגים אסטרונומיה מתמטית מפותחת, וצעד היסוד במחקר המודרני של התחום.

פרנץ קסאוור קוגלר

1862–1929 הולנד

שחזר לפרטי פרטים את תאוריות הירח וכוכבי הלכת, זיהה את הפרמטרים של המערכות וקישר את אורך החודש המפורסם לשמו של קידינו, ובכך הניח את המסד שכל הניתוחים המאוחרים שכללו.

אוטו נויגבאואר

1899–1990 אוסטריה וארצות הברית

ההדיר את הקורפוס כולו בספרו Astronomical Cuneiform Texts וניתח אותו ביסודיות בהיסטוריה של האסטרונומיה המתמטית העתיקה; הגדיר את מערכות A ו-B בצורתן המוכרת לנו וביסס את מעמדה של בבל בראשית המדעים המדויקים.

אסגר אבואה

1922–2007 דנמרק וארצות הברית

ניתח את ההיגיון הפנימי של המערכות, הראה כיצד נבנו הדגמים ושוכללו, וטען בהשפעה רבה שכל האסטרונומיה המערבית המאוחרת צמחה מן היסודות שהונחו בלוחות אלה.

ליס בראק-ברנסן

נולדה ב-1946 דנמרק וגרמניה

הראתה כיצד ניתן לגזור את פונקציות המפתח של תאוריית הירח מששת מרווחי הירח שנצפו ביומנים, ובכך חיברה מחדש את המבנה המתמטי המוגמר אל מאות שנות תצפית האופק שהזינו אותו.

מתייה אוסנדרייבר

נולד ב-1966 הולנד וגרמניה

ההדיר מחדש את הטקסטים הפרוצדורליים, אלגוריתמי המערכות, וב-2016 זיהה את חישובי הטרפז עבור צדק: גאומטריה על גבי גרפים של מהירות מול זמן, הלב הרעיוני של האינטגרל, בבבל הסלאוקית.

מהן מערכות A ו-B

מערכות A ו-B הן שתי המסגרות התאורטיות של האסטרונומיה המתמטית הבבלית: מערכי כללים אריתמטיים, המתועדים בכ-450 לוחות ושברי לוחות מבבל ומארך, שחישבו מראש את התנהגות הירח וכוכבי הלכת. הן מהוות את גולת הכותרת של המפעל המתואר בקובץ זה כולו. סדרות האותות הגדירו מה חשוב בשמיים; היומנים האסטרונומיים מדדו זאת במשך שש מאות שנה; גלגל המזלות הפך את הנתונים לניתנים לחישוב; והמערכות ביצעו את החישוב בפועל, כשהן מפיקות לוחות של מיקומים, תאריכים ואפשרויות ליקוי שנים רבות קדימה. זהו המדע החיזויי הראשון בהיסטוריה, ומספריו, גם אם לא שמותיו, הם אבותיו הישירים של כל לוח אפמרידים שפורסם מאז.

תאוריה ללא תמונות

המאפיין הבולט ביותר באסטרונומיה התאורטית הבבלית הוא מה שחסר בה. אין בה ספירות, מסלולים, אפיציקלים או מבנה קוסמי: אין בה כל מודל גאומטרי, ולא עניין בקיומו של מודל כזה. אסטרונום יווני שאל כיצד בנויים השמיים; הסופר הבבלי שאל מה השמיים יעשו, והשיב באמצעות אריתמטיקה בלבד. ערכים מספריים מופקים לפי כללים, מחוברים, מוגבלים בערכי סף, משתקפים ומועברים מטור לטור, והתוצאה היא חיזוי מדויק. היסטוריונים פירשו זאת בעבר כמגבלה, אך נכון יותר לראות בכך תגלית: ההבנה שחיזוי אינו דורש תמונת עולם פיזית, ושתופעה ניתנת ללכידה כמבנה מתמטי טהור במספרים. המדע המודרני, הפועל באמצעות משוואות ולא מנגנונים מכניים, אימץ במידה רבה את ההשקפה הבבלית הזו.

המדרגה והזיגזג

שתי המערכות נבדלות זו מזו בצעד המתמטי הבסיסי שלהן. מערכת A ממדלת שינויים באמצעות פונקציות מדרגה: גלגל המזלות מחולק לאזורים, והגודל המחושב, למשל התקדמות השמש מדי חודש, שומר על ערך קבוע בכל אזור וקופץ במעבר בין הגבולות. לעומתה, מערכת B מאפשרת לגודל להשתנות באופן ליניארי משורה לשורה בלוח, כשהוא עולה בהפרש קבוע עד למקסימום, משתקף ויורד עד למינימום: זוהי פונקציית הזיגזג, גל משולש המהווה קירוב למה שהיינו משרטטים כעקומת סינוס. שתי השיטות מקודדות שינוי מחזורי באמצעות פעולות חיבור וחיסור בלבד, ושתיהן פעלו בהצלחה. שתי המערכות התקיימו במקביל במשך מאות שנים, הן בבבל והן בארך, לעתים עבור אותן תופעות עצמן, כשתי מערכות תוכנה מתחרות הרצות על גבי אותה חומרת תצפית.

לוחות והוראות חישוב

הקורפוס נחלק לשתי סוגות עיקריות. לוחות האפמרידים הם התוצר: טבלאות, לרוב בנות שורה אחת לחודש, שטוריהן מכילים ערכים מחושבים כגון מיקום השמש, מהירות הירח, אורך שעות האור ואפשרות לליקוי, כשכל ערך נגזר משכניו לפי כלל מוגדר. הטקסטים הפרוצדורליים הם קוד המקור: הוראות חישוב בגוף שני, כגון הכפל בזה, הוסף את זה, ואם הערך עולה על זה חסר את זה, המפרטות את האלגוריתמים שהלוחות מבצעים. צמד זה הוא המופע הקדום ביותר של ההבחנה המגדירה את מדעי המחשב: התוכנית ותוצריה. בזכות תיעוד שיטתי זה של השיטות בידי הסופרים, ניתן לשחזר את המערכות כיום במלואן.

יצירת המופת הירחית

הישג השיא של המערכות הוא תאוריית הירח. חיזוי תנועת הירח חייב תמרון בין כמה מחזורים שלובים בו-זמנית: מהירותו המשתנה של הירח עצמו, מהירות השמש, תנועת נקודות הצומת שבהן מתרחשים ליקויים, והגאומטריה של האופק הקובעת אם מולד הירח ייראה בעין, השאלה שעל פיה נקבע יומו הראשון של החודש בלוח הבבלי. לוחות האפמרידים הגדולים של הירח מטפלים בכל אלה באמצעות תריסר טורים משתלבים או יותר, ובהם הטור המפורסם העוקב אחר אי-הסדירות של הירח לאורך מחזור ליקויים בן שמונה-עשרה שנה. מתוך חישובים אלה נבעו הערכים שהיו החשובים ביותר לתרבות הבבלית: מועדי המולד והמילוא המדויקים, אפשרות הליקוי, נראות מולד הירח וששת מרווחי הירח שהיומנים מדדו במשך מאות שנים, וכעת חושבו מראש.

חודש בדיוק של חצי שנייה

מספר אחד מבטא יותר מכול את תהילתן של המערכות. אורך החודש הסינודי הממוצע במערכת B, הרשום בבסיס שישים כ-29;31,50,08,20 ימים, נבדל מן הערך המודרני הנמדד בפחות מחצי שנייה. ערך זה זוקק ממאות שנים של תזמוני ליקויים מתוארכים ביומנים, ותולדותיו המאוחרות הן שיעור היסטורי בפני עצמו: היפרכוס אימץ אותו, תלמי קיבע אותו במחקרו, ודרכם הוא חדר למסורות האסטרונומיות ולוחות השנה בעולם, כאשר חודש הלוח העברי נמנה עם צאצאיו הישירים. מסורת מאוחרת ייחסה הישג זה לשמו של קידינו. בין שזכות זו שייכת לו ובין שלאחר, מספר זה הוא ההוכחה הברורה ביותר בעת העתיקה לפירותיה של תצפית סבלנית ומתועדת.

כוכבי הלכת לפי מחזורים

תאוריית כוכבי הלכת נשענת על מסד שונה: יחסי מחזור, שוויון זמנים ארוך טווח שנכרה מתוך ארכיון התצפיות. נוגה חוזרת על מופעיה חמש פעמים בשמונה שנים, שבתאי 57 פעמים ב-59 שנים, וצדק 391 פעמים ב-427 שנים. סביב מחזורים אלה חישבו המערכות את המאורעות שהמסורת עקבה אחריהם תמיד: נראות ראשונה ואחרונה, נקודות עמידה וציוני הדרך של תנועת הנסיגה, תוך הקצאת תאריך ומיקום בגלגל המזלות לכל אירוע. זהו אותו מכלול תופעות שהיומנים תיעדו וסדרות האותות פירשו; המערכות סגרו את המעגל בכך שהפכו מכלול זה לבר-חישוב, כך שלוח שנה אסטרונומי (אלמנך) יכול היה להכריז מראש על לוח הזמנים הפלנטרי של השנה כולה.

צדק וחישוב הטרפז

בשנת 2016 חולל הקורפוס תדהמה של ממש. מתייה אוסנדרייבר זיהה טקסטים פרוצדורליים המחשבים את התקדמות צדק באופן גאומטרי: תנועתו היומית של כוכב הלכת נתפסת כגודל הפוחת עם הזמן, הצורה שמתחת לדעיכה זו היא טרפז, והעתקו הכולל של צדק לאורך שישים יום שווה לשטח הטרפז. חישוב נלווה מחלק שטח זה לשני חצאים שווים כדי למצוא את מועד מחצית המרחק. זהו הלב המושגי של החשבון האינטגרלי, שטח מתחת לעקומת קצב המייצג גודל מצטבר, ששורטט על לוחות חרס בבבל הסלאוקית ארבעה-עשר מאות שנים לפני שמחשבי אוקספורד מן המאה הארבע-עשרה, שזכו במשך שנים בקרדיט על הרעיון, שרטטו את אותה צורה בדיוק. תגלית זו שכתבה פרק בתולדות המתמטיקה, והיא מהווה תזכורת שלא לטעות ולחשוב שהלבוש האריתמטי של המערכות מעיד על דלות מושגית.

הסופרים האחרונים

המערכות פעלו בשני בתי מלאכה מרכזיים: החוג סביב מקדש אסגילה בבבל ומשפחות המלומדים הגדולות של ארך, שהקולופונים שלהן מאפשרים להציץ בתהליך העבודה בזמן אמת. הלוחות חתומים, מתוארכים ומיוחסים לבעליהם; הסופר מארך אנו-אבא-אותר, בנו של אנו-בלשונו שהורוסקופ הלידה שלו שרד, חישב לוחות אפמרידים של מערכת B סביב שנת 190 לפנה"ס תחת התואר 'סופר אנומה אנו אנליל'. סדרת האותות העתיקה עדיין העניקה למקצוע את שמו, מאות שנים לאחר ששיטותיו חרגו מעולם האותות. תעודות מקדש מלמדות שאנשים אלה קיבלו שכר קבוע כדי לקיים את התצפית ולהפיק את הלוחות. המסורת המשיכה לחשב עד לקצו המוחלט של כתב היתדות: לוח האסטרונומיה המאוחר ביותר שניתן לתארך, אלמנך, נכתב בשנת 75 לספירה, בימי דורם של אחרוני קוראי הכתב.

פרסום בקרב היוונים

המדע הבבלי היה אנונימי כמעט לכל אורכו; המערכות הללו הן יוצא הדופן. סופרים יוונים מסרו את שמותיהם של גדולי החכמים הכשדים: נבוריאנוס וקידנאס, שמאחוריהם עומדים נבו-רימנו וקידינו שלנו, שהמסורת המאוחרת קשרה למערכות A ו-B בהתאמה, וכן סודינס, המומחה הכשדי בחצר מלך פרגמון. אף שהייחוסים רופפים מכפי שהיינו רוצים, המוניטין עצמו הוא עובדה היסטורית: העולם היווני ידע שלוחות אלה הם פרי עבודתם של מלומדים מוגדרים וציטט את הפרמטרים שלהם בשמם במשך מאות שנים. דרך היפרכוס, שאימץ את מחזורי הליקויים והפרמטרים של הירח; דרך הפפירוסים האסטרונומיים של מצרים הרומית, שחישבו כוכבי לכת בשיטות אריתמטיות בבליות מובהקות; ודרך ערוצים שנמתחו מזרחה אל יחסי המחזור של האסטרונומיה ההודית, חצו מספרי המערכות כל גבול תרבותי. הם לא נזקקו לתרגום, שכן לאריתמטיקה אין צורך בתרגום.

שחזור המתמטיקה

שחזורן של המערכות בעת החדשה הוא אחד המפעלים המרשימים והשקטים בתולדות המחקר. יוזף אפינג, שעבד על בסיס העתקי היד של שטרסמאייר, פיצח לראשונה את לוחות הירח בשנת 1889; פרנץ קוגלר שחזר את התאוריות והפרמטרים בעשורים שלאחר מכן וחיבר את אורך החודש לשמו של קידינו; ספרו של אוטו נויגבאואר, Astronomical Cuneiform Texts משנת 1955, ההדיר את הקורפוס כולו והגדיר את מערכות A ו-B באופן מכונן; אסגר אבואה ניתח את ההיגיון הפנימי שלהן; ליס בראק-ברנסן הראתה כיצד ניתן לגזור את פונקציות הירח מתוך מרווחי התצפית של היומנים, ובכך סגרה את המעגל שבין תצפית לחישוב; ומתייה אוסנדרייבר ההדיר מחדש את הטקסטים הפרוצדורליים וגילה את חישובי הטרפז. בזכותם, ניתן לקרוא כיום את המדע החישובי הקדום בעולם עד לרמת האלגוריתמים שלו, ולבדוק אותו, שורה אחר שורה, אל מול השמיים שחזה.

כיצד לקרוא פרק זה

הכרטיסים שלעיל מפרקים את המנגנון למרכיביו: הגישה האריתמטית, שני סוגי הפונקציות, הלוחות והוראות החישוב, תאוריית הירח והחודש המפורסם, מחזורי כוכבי הלכת, הפתעת הטרפז, בתי המלאכה, השמות המפורסמים וההעברה הבין-תרבותית. למידע על נתוני התצפית שהזינו את המערכות, ראו את דף היומנים האסטרונומיים; למסגרת הקואורדינטות שבה הן מחשבות, ראו את דף המצאת גלגל המזלות; למטרתן המקורית של התצפיות, ראו את דפי אנומה אנו אנליל ולוחות הליקויים; ולמסורת כולה, ראו את דף אסטרולוגיית האותות הבבלית. מערכות A ו-B ועולמן נכללים בקובץ של האקדמיה לטארוט בכל 52 השפות.

שאלות נפוצות

אסטרולוגיית האותות הבבלית

פוסטים אחרונים

גלה את החוכמה העתיקה של קלפי הטארוט ופתח את סודות המסע הרוחני שלך. הבלוג שלנו הוא שערך להבנת הסימבוליזם העשיר, המשמעויות והיישומים המעשיים של קריאת טארוט.